7. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, если известно, что среднее арифметическое длин измерений равно 9 1/3 см: a : b = 2 : 5, b : c = 5 : 7.

Задание 7

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c.

Среднее арифметическое длин измерений равно 9 1/3 см:

\( \frac{a + b + c}{3} = 9 \frac{1}{3} \)

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

\( 9 \frac{1}{3} = \frac{9 × 3 + 1}{3} = \frac{27 + 1}{3} = \frac{28}{3} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( \frac{a + b + c}{3} = \frac{28}{3} \)

Умножим обе части на 3:

\( a + b + c = 28 \) см

Даны соотношения:

\( a : b = 2 : 5 \) => \( a = \frac{2}{5} b \)

\( b : c = 5 : 7 \) => \( c = \frac{7}{5} b \)

Подставим выражения для a и c через b в уравнение суммы:

\( \frac{2}{5} b + b + \frac{7}{5} b = 28 \)

Приведем к общему знаменателю (5):

\( \frac{2b}{5} + \frac{5b}{5} + \frac{7b}{5} = 28 \)

\( \frac{2b + 5b + 7b}{5} = 28 \)

\( \frac{14b}{5} = 28 \)

Теперь найдем b:

\( 14b = 28 × 5 \)

\( 14b = 140 \)

\( b = \frac{140}{14} = 10 \) см

Найдем a:

\( a = \frac{2}{5} b = \frac{2}{5} × 10 = 4 \) см

Найдем c:

\( c = \frac{7}{5} b = \frac{7}{5} × 10 = 14 \) см

Проверим сумму: \( 4 + 10 + 14 = 28 \). Все верно.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:

\( V = a × b × c \)

\( V = 4 × 10 × 14 \)

\( V = 40 × 14 \)

\( V = 560 \) см³

Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда равен 560 см³.