7. Найдите корень уравнения

Решение:

1. 
   

   Запишем уравнение:

   
   

   \[ \sqrt{-10 - 7x} = -x \]

   
   


2. 
   

   Условие неотрицательности подкоренного выражения: $$-10 - 7x \ge 0
   Arr -7x \ge 10
   Arr x \le -\frac{10}{7}$$

   
   

   Условие неотрицательности правой части (так как корень не может быть отрицательным): $$-x \ge 0
   Arr x \le 0$$

   
   

   Объединяя условия, получаем: $$x \le -\frac{10}{7}$$

   
   


3. 
   

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   
   

   \[ -10 - 7x = (-x)^2 \]

   
   

   \[ -10 - 7x = x^2 \]

   
   


4. 
   

   Перенесем все члены в одну сторону и решим квадратное уравнение:

   
   

   \[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]

   
   

   Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

   
   

   Корни уравнения:

   
   
   
   
   • \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
   
   
   • \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
   
   
   
   


5. 
   

   Проверим найденные корни по условиям:

   
   
   
   
   • Для $$x_1 = -2$$: $$-2 \le -\frac{10}{7}$$ (неверно, так как $$-2 = -14/7$$ и $$-14/7 \le -10/7$$ неверно).
   
   
   • Для $$x_2 = -5$$: $$-5 \le -\frac{10}{7}$$ (верно, так как $$-5 = -35/7$$ и $$-35/7 \le -10/7$$).
   
   
   
   


6. 
   

   Укажем меньший корень, который удовлетворяет условиям.

   
   

Ответ: -5