7. Найдите для функции y = 7/x: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) промежутки знакопостоянства функции; г) промежутки монотонности функции.

Давай разберем функцию y = 7/x по пунктам.

а) Область определения функции

Область определения функции — это все значения x, для которых функция имеет смысл. В данном случае функция определена для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель здесь — это x. Он не должен быть равен нулю.

x ≠ 0

Таким образом, область определения функции D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

б) Множество значений функции

Множество значений функции — это все значения y, которые функция может принимать. Рассмотрим функцию y = 7/x. Если x может принимать любые значения, кроме нуля, то y также может принимать любые значения, кроме нуля. Если бы y = 0, то 7/x = 0, что невозможно, так как 7 ≠ 0.

Таким образом, множество значений функции E(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

в) Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (либо положительный, либо отрицательный).

1. y > 0:

7/x > 0

Это неравенство выполняется, когда x положительный, то есть x > 0. Это интервал (0; +∞).

2. y < 0:

7/x < 0

Это неравенство выполняется, когда x отрицательный, то есть x < 0. Это интервал (-∞; 0).

Функция положительна на (0; +∞) и отрицательна на (-∞; 0).

г) Промежутки монотонности функции

Монотонность функции показывает, возрастает она или убывает на определенных интервалах.

Для функции y = 7/x:

• На интервале (-∞; 0) функция убывает.
• На интервале (0; +∞) функция также убывает.

Это связано с тем, что график функции y = 7/x (гипербола) состоит из двух ветвей, каждая из которых является убывающей.

Ответ:

а) D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

б) E(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

в) y > 0 при x ∈ (0; +∞); y < 0 при x ∈ (-∞; 0)

г) Функция убывает на (-∞; 0) и на (0; +∞).