6. Постройте графики функций y = x^3 и y = |x| в одной системе координат и найдите координаты их общих точек.

Для начала построим графики функций y = x³ и y = |x| в одной системе координат.

График y = x³ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. В первой координатной четверти она возрастает, а в третьей — убывает.

График y = |x| — это «галочка» с вершиной в начале координат. В первой координатной четверти он совпадает с прямой y = x, а во второй — с прямой y = -x.

Теперь найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем уравнения:

x³ = |x|

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ 0, то |x| = x. Уравнение примет вид:

x³ = x

x³ - x = 0

x(x² - 1) = 0

x(x - 1)(x + 1) = 0

Получаем корни: x = 0, x = 1, x = -1. Так как мы рассматриваем случай x ≥ 0, то подходят корни x = 0 и x = 1.

2. Если x < 0, то |x| = -x. Уравнение примет вид:

x³ = -x

x³ + x = 0

x(x² + 1) = 0

Получаем корни: x = 0, x² = -1. Корень x = 0 не удовлетворяет условию x < 0. Уравнение x² = -1 не имеет действительных корней.

Таким образом, точки пересечения графиков имеют следующие абсциссы: x = 0 и x = 1.

Найдем соответствующие значения y:

• При x = 0: y = 0³ = 0. Точка (0, 0).
• При x = 1: y = 1³ = 1. Точка (1, 1).

Ответ: Точки пересечения графиков: (0, 0) и (1, 1).