7. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15 м². Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Заштрихованная фигура представляет собой разность между площадью большего круга и площадью меньшего (внутреннего) круга. Из рисунка видно, что больший круг вписан в квадрат, а меньший круг вписан в этот квадрат.

Пусть \( r \) — радиус внутреннего круга, \( R \) — радиус внешнего круга.

Площадь внутреннего круга \( S_{внутр} = \pi r^2 = 15 \) м².

Диаметр внутреннего круга \( 2r \) равен стороне квадрата, в который вписан внешний круг. Таким образом, сторона квадрата равна \( 2r \).

Радиус внешнего круга \( R \) равен половине стороны квадрата, т.е. \( R = \frac{2r}{2} = r \). Однако, на рисунке видно, что внешний круг описан вокруг квадрата, а внутренний круг вписан в этот квадрат. Если внешний круг описан вокруг квадрата, а внутренний круг вписан в этот же квадрат, то радиус внешнего круга \( R \) будет в \( \sqrt{2} \) раз больше радиуса внутреннего круга \( r \).

\( R = r\sqrt{2} \)

Площадь внешнего круга:

\[ S_{внеш} = \pi R^2 = \pi (r\sqrt{2})^2 = \pi r^2 \cdot 2 = 2 \cdot (\pi r^2) \]

Так как \( \pi r^2 = 15 \) м², то \( S_{внеш} = 2 \cdot 15 \text{ м}^2 = 30 \) м².

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов:

\[ S_{заштр} = S_{внеш} - S_{внутр} = 30 \text{ м}^2 - 15 \text{ м}^2 = 15 \text{ м}^2 \]

Ответ: 15 м².