6. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.

Решение:

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, справедлива формула: \( a = R\sqrt{3} \), где \( a \) — сторона треугольника, \( R \) — радиус окружности.

Дано: \( a = 5\sqrt{3} \) см.

Найдём радиус окружности:

\[ 5\sqrt{3} = R\sqrt{3} \]

Отсюда \( R = 5 \) см.

1. Площадь круга:
   \[ S = \pi R^2 = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]
2. Длина окружности:
   \[ C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 \text{ см} = 10\pi \text{ см} \]

Ответ: Площадь круга \( 25\pi \) см², длина окружности \( 10\pi \) см.