7. Координаты точки M(x, y) удовлетворяют системе уравнений $\begin{cases} x^3+y^3 = 35 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}$. Найти сумму координат точки M. Если таких точек несколько, в ответ записать наименьшую сумму.

Question

7. Координаты точки M(x, y) удовлетворяют системе уравнений $\begin{cases} x^3+y^3 = 35 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}$. Найти сумму координат точки M. Если таких точек несколько, в ответ записать наименьшую сумму.

$Фото задания: 7. Координаты точки M(x, y) удовлетворяют системе уравнений $\begin{cases} x^3+y^3 = 35 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}$. Найти…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Заметим, что $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $.
Также $ x^2-xy+y^2 = (x+y)^2 - 3xy $.
Пусть $ s = x+y $ и $ p = xy $.
Система уравнений примет вид:

$ s((x+y)^2 - 3xy) = 35 $ → $ s(s^2 - 3p) = 35 $.
$ p s = 30 $ → $ ps = 30 $ → $ p = \frac{30}{s} $.

Подставим $ p $ в первое уравнение: $ s(s^2 - 3 \cdot \frac{30}{s}) = 35 $.
$ s(s^2 - \frac{90}{s}) = 35 $.
$ s^3 - 90 = 35 $.
$ s^3 = 125 $.
$ s = \sqrt[3]{125} = 5 $.
Таким образом, сумма координат $ x+y = 5 $.
Найдём $ p $: $ p = \frac{30}{5} = 6 $.
Теперь у нас есть система: $ x+y=5 $ и $ xy=6 $.
$ x $ и $ y $ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - (x+y)t + xy = 0 $ → $ t^2 - 5t + 6 = 0 $.
Корни уравнения: $ (t-2)(t-3) = 0 $, то есть $ t_1=2 $ и $ t_2=3 $.
Возможные пары $ (x, y) $ — $ (2, 3) $ и $ (3, 2) $.
В обоих случаях сумма $ x+y = 2+3 = 5 $.

Ответ: 5