4. Решить систему неравенств $\begin{cases} \sin x > \cos 2x, \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}$. В ответ запишите число $\frac{l}{\pi}$, где $l$ — длина полученного промежутка.

Question

$Фото задания: 4. Решить систему неравенств $\begin{cases} \sin x > \cos 2x, \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}$. В ответ запишите число…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем $\cos 2x$ через $\sin x$: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $.
Неравенство $\sin x > 1 - 2\sin^2 x $ становится $ 2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0 $.
Сделаем замену $ y = \sin x $. Получим квадратное неравенство $ 2y^2 + y - 1 > 0 $.
Корни уравнения $ 2y^2 + y - 1 = 0 $ находим по формуле: $ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} $.
Корни: $ y_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ и $ y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1 $.
Квадратное неравенство $ 2y^2 + y - 1 > 0 $ выполняется при $ y < -1 $ или $ y > \frac{1}{2} $.
Учитывая, что $ y = \sin x $ и $ -1 \le \sin x \le 1 $, получаем $ \sin x > \frac{1}{2} $.
На интервале $ [0, 2\pi] $ неравенство $\sin x > \frac{1}{2} $ выполняется при $ x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $.
Длина этого промежутка $ l = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Требуется найти $\frac{l}{\pi}$: $ \frac{2\pi/3}{\pi} = \frac{2}{3} $.

Ответ: 2/3

4. Решить систему неравенств \(\begin{cases} \sin x > \cos 2x, \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}\). В ответ запишите число \(\frac{l}{\pi}\), где \(l\) — длина полученного промежутка.