7. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой. Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны. 1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра. 2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 34. 4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 5.

Решение:

Всего рогаликов: 35.

С глазурью (Г): 10.

С сахарной пудрой (П): 20.

Пусть \( x \) — количество рогаликов с глазурью И сахарной пудрой.

Количество рогаликов только с глазурью: \( 10 - x \).

Количество рогаликов только с сахарной пудрой: \( 20 - x \).

Общее количество рогаликов с глазурью ИЛИ сахарной пудрой: \( (10-x) + (20-x) + x = 30 - x \).

Количество рогаликов без глазури и пудры: \( 35 - (30 - x) = 5 + x \).

Так как \( x \) не может быть отрицательным, \( x \ge 0 \).

Также \( x \) не может быть больше количества рогаликов с глазурью (10) и с пудрой (20). Следовательно, \( x ≤ 10 \).

Рассмотрим утверждения:

1. Неверно. \( x \) может быть меньше 12. Например, если \( x = 5 \), то общее количество рогаликов с глазурью или пудрой = \( 30 - 5 = 25 \), а без них = \( 35 - 25 = 10 \).
2. Неверно. Количество рогаликов без глазури и пудры равно \( 5 + x \). Минимальное значение этого выражения, когда \( x = 0 \), равно \( 5 + 0 = 5 \). Таким образом, их НЕ обязательно найдется 5, но может быть и больше.
3. Неверно. \( 34 \) — это близко к общему количеству рогаликов (35). Если \( x \) максимально (10), то количество рогаликов с глазурью или пудрой равно \( 30 - 10 = 20 \).
4. Верно. Количество рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, равно \( 5 + x \). Так как \( x ≤ 10 \), то \( 5 + x ≤ 5 + 10 = 15 \). Это не больше 5. Давайте пересмотрим.

Давайте переформулируем: \( N = 35 \). \( |Г| = 10 \), \( |П| = 20 \). \( |Г ∪ П| = |Г| + |П| - |Г ∩ П| \). \( |Г ∪ П| = 10 + 20 - x = 30 - x \). \( |не(Г ∪ П)| = N - |Г ∪ П| = 35 - (30 - x) = 5 + x \).

Минимальное значение \( x \) — 0. Тогда \( 5 + 0 = 5 \). Максимальное значение \( x \) — 10. Тогда \( 5 + 10 = 15 \). Таким образом, количество рогаликов без глазури и пудры находится в диапазоне от 5 до 15.

Проверим утверждения еще раз:

1. Неверно. \( x \) может быть, например, 0.
2. Неверно. \( 5+x \) может быть больше 5, если \( x > 0 \).
3. Неверно. \( 34 \) — это слишком много.
4. Верно. Количество рогаликов без глазури и пудры равно \( 5+x \). Так как \( x ≤ 10 \), то \( 5+x ≤ 15 \). Ой, это не то утверждение. Утверждение 4: Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 5. Это утверждение неверно, так как \( 5+x \) может быть больше 5.

Давайте перечитаем условие и утверждения внимательно.

Утверждение 2: Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. Это означает, что число рогаликов без глазури и пудры равно 5. Это возможно, если \( x=0 \). Но это не обязательно. Поэтому утверждение