7 класс 1. Определение и свойство вертикальных углов. 2. Второй признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника.

Решение:

1. Теоретические вопросы:
   • Вертикальные углы — это два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон.
   • Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
   • Второй признак параллельности двух прямых: Если при пересечении двух прямых секущей образуются соответственные углы, равные между собой, то эти прямые параллельны. Доказательство: Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$c$$. Если соответственные углы $$∠1$$ и $$∠2$$ равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. (Доказательство может быть выведено из свойства вертикальных или смежных углов).
2. Решение задачи:
   • Пусть дан равнобедренный треугольник ABC.
   • Рассмотрим внешний угол при вершине B, равный 110°.
   • Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом треугольника.
   • Следовательно, внутренний угол B = $$180^° - 110^° = 70^°$$.
   • Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.
   • Есть два варианта:
   • Вариант 1: Основание AC, углы при основании $$∡A = ∡C$$.
   • Тогда $$∡A = ∡C = 70^°$$.
   • Сумма углов треугольника: $$∡A + ∡B + ∡C = 180^°$$.
   • $$70^° + 70^° + ∡B = 180^°$$.
   • $$140^° + ∡B = 180^°$$.
   • $$∡B = 40^°$$.
   • В этом случае углы треугольника: 70°, 40°, 70°. Внешний угол при вершине B (40°) равен $$180^° - 40^° = 140^°$$. Это противоречит условию, что внешний угол равен 110°.
   • Вариант 2: Основание AB, углы при основании $$∡A = ∡B$$.
   • По условию, один из внешних углов равен 110°.
   • Пусть внешний угол при вершине C равен 110°. Тогда внутренний угол C = $$180^° - 110^° = 70^°$$.
   • Если C - угол при основании, то $$∡A = ∡C = 70^°$$.
   • Тогда $$∡B = 180^° - (70^° + 70^°) = 180^° - 140^° = 40^°$$.
   • Углы треугольника: 70°, 40°, 70°.
   • Если внешний угол при вершине B равен 110°, то внутренний угол B = $$180^° - 110^° = 70^°$$.
   • Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны.
   • Случай 2.1: Основание AC. Тогда $$∡A = ∡C$$. Угол B = 70°. Сумма углов = 180°. $$∡A + ∡C + 70^° = 180^°$$. $$2∡A = 110^°$$. $$∡A = ∡C = 55^°$$. Углы: 55°, 70°, 55°.
   • Случай 2.2: Основание AB. Тогда $$∡A = ∡B = 70^°$$. Угол C = $$180^° - (70^° + 70^°) = 40^°$$. Углы: 70°, 70°, 40°.
   • Случай 2.3: Основание BC. Тогда $$∡B = ∡C = 70^°$$. Угол A = $$180^° - (70^° + 70^°) = 40^°$$. Углы: 40°, 70°, 70°.
   • Наиболее логичным является, что внешний угол при вершине B равен 110°, тогда внутренний угол B = 70°. Если основание AC, то углы при основании равны: $$∡A = ∡C = (180^° - 70^°) / 2 = 110^° / 2 = 55^°$$. Таким образом, углы треугольника: 55°, 70°, 55°.
   • Если внешний угол при вершине A равен 110°, то внутренний угол A = 70°. Так как треугольник равнобедренный, то либо $$∡B = ∡C = (180^° - 70^°) / 2 = 55^°$$. Углы: 70°, 55°, 55°.
   • Если внешний угол при вершине C равен 110°, то внутренний угол C = 70°. Так как треугольник равнобедренный, то либо $$∡A = ∡B = (180^° - 70^°) / 2 = 55^°$$. Углы: 55°, 55°, 70°.
   • По условию, один из внешних углов равен 110°. Это означает, что соответствующий внутренний угол равен $$180^° - 110^° = 70^°$$.
   • Если 70° - угол при вершине: Тогда два других угла (углы при основании) равны $$(180^° - 70^°) / 2 = 110^° / 2 = 55^°$$. Углы: 70°, 55°, 55°.
   • Если 70° - угол при основании: Тогда один из углов при основании равен 70°. Другой угол при основании также равен 70°. Угол при вершине равен $$180^° - (70^° + 70^°) = 180^° - 140^° = 40^°$$. Углы: 70°, 70°, 40°.
   • Итак, возможные наборы углов треугольника: (70°, 55°, 55°) или (70°, 70°, 40°).

Ответ: Углы треугольника могут быть 70°, 55°, 55° или 70°, 70°, 40°.