1. Сравнение углов. Измерение углов. 2. Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

1. Теоретические вопросы:
   • Сравнение углов производится путем сопоставления их градусных мер. Угол может быть равен, больше или меньше другого угла.
   • Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника: Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и биссектрисой. Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и проведем высоту BH к основанию AC. В прямоугольных треугольниках ABH и ACH, AB = AC (по условию), BH - общая сторона. Углы AHB и CHB равны 90°. По теореме Пифагора, $$AH^2 = AB^2 - BH^2$$ и $$CH^2 = AC^2 - BH^2$$. Так как $$AB = AC$$, то $$AH^2 = CH^2$$, следовательно $$AH = CH$$. Это означает, что BH является медианой. Так как $$AH = CH$$, то H - середина AC. Кроме того, в прямоугольных треугольниках ABH и ACH, $$sin(∠BAH) = BH/AB$$ и $$sin(∠CAH) = BH/AC$$. Поскольку AB = AC, то $$∠BAH = ∠CAH$$, что означает, что BH является биссектрисой угла A.
2. Решение задачи:
   • Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где $$∡C = 90^°$$.
   • Пусть $$∡A = 60^°$$. Тогда $$∡B = 90^° - 60^° = 30^°$$.
   • Наименьший катет лежит напротив наименьшего угла, то есть катет BC лежит напротив угла A (60°), а катет AC лежит напротив угла B (30°). Следовательно, AC - меньший катет.
   • По условию, $$AB + AC = 30$$ см.
   • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, $$AC = AB / 2$$.
   • Подставим это в уравнение: $$AB + (AB / 2) = 30$$.
   • $$3AB / 2 = 30$$.
   • $$3AB = 60$$.
   • $$AB = 20$$ см.
   • Следовательно, гипотенуза AB равна 20 см.

Ответ: 20 см