7. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты равны \( a = 10 \) и \( b = 24 \). Найдём гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 10^2 + 24^2 \]

\[ c^2 = 100 + 576 \]

\[ c^2 = 676 \]

\[ c = \sqrt{676} = 26 \] (единиц).

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} a b \)
2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} c h \)

Приравняем площади:

\[ \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h \]

\[ a b = c h \]

Выразим высоту \( h \):

\[ h = \frac{a b}{c} \]

\[ h = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{240}{26} = \frac{120}{13} \] (единиц).

Ответ: \(\frac{120}{13}\).