7. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 18, АО = 82.

Краткая запись:

• Касательная АВ = 18
• Секущая АО = 82
• Найти: Радиус окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию, АВ — касательная к окружности, а значит, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обозначим точку касания как T. Тогда угол ОТА = 90°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике АТО, гипотенузой является АО, а катетами — АТ (касательная) и ОТ (радиус).
3. Шаг 3: По теореме Пифагора: \( AO^{2} = AT^{2} + OT^{2} \).
4. Шаг 4: Подставляем известные значения: \( 82^{2} = 18^{2} + r^{2} \).
5. Шаг 5: Вычисляем квадраты: \( 6724 = 324 + r^{2} \).
6. Шаг 6: Находим \( r^{2} \): \( r^{2} = 6724 - 324 = 6400 \).
7. Шаг 7: Извлекаем квадратный корень: \( r = \sqrt{6400} = 80 \).

Ответ: 80