7) \(\int\)_1^4 \(\sqrt{x}\) dx;

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_1^4 \sqrt{x} dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Перепишем подынтегральную функцию как \( x^{1/2} \).
2. Найдём первообразную для функции \( f(x) = x^{1/2} \). Первообразной является \( F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \).
3. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
• \( F(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \)
• \( F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \)
4. Вычтем значение первообразной в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
5. \( \int_1^4 \sqrt{x} dx = F(4) - F(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \)

Ответ: \( \frac{14}{3} \)