5) \(\int\)_2^3 \(\frac{1}{x^2}\) dx;

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_2^3 \frac{1}{x^2} dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Перепишем подынтегральную функцию как \( x^{-2} \).
2. Найдём первообразную для функции \( f(x) = x^{-2} \). Первообразной является \( F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} \).
3. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
• \( F(3) = -\frac{1}{3} \)
• \( F(2) = -\frac{1}{2} \)
4. Вычтем значение первообразной в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
5. \( \int_2^3 \frac{1}{x^2} dx = F(3) - F(2) = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \)
6. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6} \)

Ответ: \( \frac{1}{6} \)