7. Докажите, что при любых допустимых значениях а значение выражения не зависит от а: \( \frac{a^2}{a^2+2} + \frac{6a^2+4}{a^2+2} - \frac{2(3a^2+1)}{a^2+2} \)

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от \( a \), нужно упростить данное выражение.

Все дроби имеют одинаковый знаменатель \( a^2+2 \). Поэтому мы можем сложить и вычесть их числители:

\[ \frac{a^2 + (6a^2+4) - 2(3a^2+1)}{a^2+2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{a^2 + 6a^2 + 4 - 6a^2 - 2}{a^2+2} \]

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\[ \frac{(a^2 + 6a^2 - 6a^2) + (4 - 2)}{a^2+2} = \frac{a^2 + 2}{a^2+2} \]

Так как \( a^2+2 \) не равно нулю при любых значениях \( a \) (так как \( a^2 \ge 0 \)), мы можем сократить дробь:

\[ \frac{a^2 + 2}{a^2+2} = 1 \]

Значение выражения равно 1 и не зависит от \( a \).

Доказательство:

\( \frac{a^2}{a^2+2} + \frac{6a^2+4}{a^2+2} - \frac{2(3a^2+1)}{a^2+2} = \frac{a^2 + 6a^2 + 4 - 6a^2 - 2}{a^2+2} = \frac{a^2+2}{a^2+2} = 1 \)

Ответ: Значение выражения равно 1 и не зависит от \( a \).