6. Выполните сложение или вычитание дробей: a) $$\frac{x^2-4}{x^2-xy} + \frac{y^2-4}{xy-x^2}$$ б) $$\frac{c^2}{(9a-c)^2} - \frac{81a^2}{(c-9a)^2}$$ в) $$\frac{6}{(x-4)(5-x)} + \frac{x+2}{(4-x)(5-x)}$$

Решение:

а)

Приведём знаменатели к одному виду. Заменим \( xy - x^2 \) на \( -(x^2 - xy) \).

\[ \frac{x^2-4}{x^2-xy} - \frac{y^2-4}{x^2-xy} = \frac{x^2-4 - (y^2-4)}{x^2-xy} = \frac{x^2-4-y^2+4}{x(x-y)} = \frac{x^2-y^2}{x(x-y)} = \frac{(x-y)(x+y)}{x(x-y)} = \frac{x+y}{x} \]

б)

Заметим, что \( (9a-c)^2 = (c-9a)^2 \). Поэтому знаменатели одинаковые. Выполняем вычитание числителей:

\[ \frac{c^2 - 81a^2}{(9a-c)^2} = \frac{(c-9a)(c+9a)}{(9a-c)^2} = \frac{(c-9a)(c+9a)}{(-(c-9a))^2} = \frac{(c-9a)(c+9a)}{(c-9a)^2} = \frac{c+9a}{c-9a} \]

в)

Заметим, что \( 4-x = -(x-4) \). Приведём знаменатели к общему виду \( (x-4)(5-x) \).

\[ \frac{6}{(x-4)(5-x)} - \frac{x+2}{(x-4)(5-x)} = \frac{6 - (x+2)}{(x-4)(5-x)} = \frac{6-x-2}{(x-4)(5-x)} = \frac{4-x}{(x-4)(5-x)} = \frac{-(x-4)}{(x-4)(5-x)} = \frac{-1}{5-x} = \frac{1}{x-5} \]

Ответ: а) $$\frac{x+y}{x}$$; б) $$\frac{c+9a}{c-9a}$$; в) $$\frac{1}{x-5}$$.