7. Докажите, что при любых допустимых значениях а значение выражения не зависит от а: а) $$\frac{a^2}{a^2+2} + \frac{6a^2+4}{a^2+2} - \frac{2(3a^2+1)}{a^2+2}$$

Доказательство:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от \( a \), нужно упростить данное выражение. Все дроби имеют общий знаменатель \( a^2+2 \), поэтому можем работать с числителями:

\[ \frac{a^2 + (6a^2+4) - 2(3a^2+1)}{a^2+2} \]

Раскроем скобки во втором числителе:

\[ \frac{a^2 + 6a^2 + 4 - (6a^2+2)}{a^2+2} \]

Раскроем скобки перед второй частью числителя:

\[ \frac{a^2 + 6a^2 + 4 - 6a^2 - 2}{a^2+2} \]

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\[ \frac{(a^2 + 6a^2 - 6a^2) + (4 - 2)}{a^2+2} \]

\[ \frac{a^2 + 2}{a^2+2} \]

Так как числитель и знаменатель равны, дробь равна 1.

\[ 1 \]

Значение выражения равно 1, что не зависит от значения \( a \) (при условии, что \( a^2+2 \neq 0 \), что всегда верно для действительных \( a \)).

Ответ: Значение выражения равно 1 и не зависит от \( a \).