7. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он является равнобедренным.

Задание 7

Дано: Треугольник \( ABC \), высоты \( h_a \) и \( h_b \) равны, то есть \( h_a = h_b \).

Доказать: Треугольник \( ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

Пусть \( AD \) — высота, опущенная на сторону \( BC \) (то есть \( AD = h_a \)), и \( BE \) — высота, опущенная на сторону \( AC \) (то есть \( BE = h_b \)).

Площадь треугольника \( S \) можно вычислить по формулам:

\[ S = \frac{1}{2} BC h_a \]

\[ S = \frac{1}{2} AC h_b \]

Так как \( h_a = h_b \), то:

\[ \frac{1}{2} BC h_a = \frac{1}{2} AC h_b \]

\[ BC h_a = AC h_b \]

Поскольку \( h_a = h_b \), мы можем сократить их:

\[ BC = AC \]

Если две стороны треугольника равны (стороны \( BC \) и \( AC \)), то треугольник является равнобедренным по определению.

Вывод: Утверждение доказано.