7. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите ∠BKC, если ∠B = 40°, a ∠C = 80°.

Задание 7. Биссектрисы углов треугольника

Дано:

• \( \triangle ABC \).
• \( BK \) — биссектриса \( \angle B \).
• \( CK \) — биссектриса \( \angle C \).
• \( \angle B = 40^\circ \).
• \( \angle C = 80^\circ \).

Найти: \( \angle BKC \).

Решение:

1. Найдем \( \angle A \) в \( \triangle ABC \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ \].
2. Так как \( BK \) — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle KBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ \).
3. Так как \( CK \) — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ \).
4. В \( \triangle BKC \) сумма углов равна 180°: \[ \angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ \]
5. Подставим найденные значения: \[ \angle BKC + 20^\circ + 40^\circ = 180^\circ \]
6. \( \angle BKC + 60^\circ = 180^\circ \)
7. \( \angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ответ: 120°.