69. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L LM = 24 и МК = 25. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника KLM.

Решение:

Для начала найдём длину катета KL, используя теорему Пифагора.

1. Дан прямоугольный треугольник KLM, \( \angle L = 90^{\circ} \).
2. Известны катет \( LM = 24 \) и гипотенуза \( MK = 25 \).
3. По теореме Пифагора: \( MK^2 = LM^2 + KL^2 \).
4. \( 25^2 = 24^2 + KL^2 \).
5. \( 625 = 576 + KL^2 \).
6. \( KL^2 = 625 - 576 = 49 \).
7. \( KL = \sqrt{49} = 7 \).
8. Радиус описанной окружности (R): В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
9. \( R = \frac{MK}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \).
10. Радиус вписанной окружности (r): Используем формулу \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
11. \( r = \frac{LM + KL - MK}{2} = \frac{24 + 7 - 25}{2} \).
12. \( r = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Ответ: радиус описанной окружности 12.5, радиус вписанной окружности 3.