66 Библиотеке нужно переплести 2700 книг. Первая мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а вторая за 30. За сколько дней сделают эту работу мастерские, если будут работать вместе?

Задание 66) Работа мастерских вместе

Дано:

• Всего книг: 2700.
• Мастерская 1: \( t_1 = 15 \) дней.
• Мастерская 2: \( t_2 = 30 \) дней.

Найти: Время \( t_{вместе} \), за которое обе мастерские переплетут книги, работая вместе.

Решение:

1. Определим производительность каждой мастерской (какую часть работы они выполняют за 1 день).
• Производительность Мастерской 1: \( P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{15} \) (книг/день).
• Производительность Мастерской 2: \( P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{30} \) (книг/день).
2. Сложим производительности обеих мастерских, чтобы найти их общую производительность при совместной работе: \( P_{вместе} = P_1 + P_2 \).
3. \( P_{вместе} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \)
4. Приведём дроби к общему знаменателю (30): \( P_{вместе} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \) (книг/день).
5. Время, за которое они сделают всю работу вместе, равно единице, делённой на их общую производительность: \( t_{вместе} = \frac{1}{P_{вместе}} \).
6. \( t_{вместе} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \) дней.
7. *Примечание: Количество книг (2700) не влияет на время выполнения работы, так как мы рассматриваем работу в долях от общего объёма.*

Ответ: Мастерские сделают работу за 10 дней.