6. Задача. Яка середня квадратична швидкість молекул гелію при температурі 27°C ? Маса однієї молекули гелію m₀ = 6,64·10⁻²⁷ кг, або скористайтеся молярною масою (М=4·10⁻³ кг/моль).

Дано:

\( T = 27°C \)

\( m_0 = 6.64 \cdot 10^{-27} \) кг

\( M = 4 \cdot 10^{-3} \) кг/моль

\( R = 8.31 \) Дж/(моль·К)

Знайти:

\( v_{ кв. ср.} \)

Розв'язок:

Спочатку переведемо температуру в Кельвіни:

\[ T(K) = 27°C + 273 = 300 \text{ K} \]

Середня квадратична швидкість молекул газу визначається формулою:

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \quad \text{або} \quad v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} \]

де \( k \) — стала Больцмана, \( k = \frac{R}{N_A} \).

Використаємо другий варіант формули, оскільки маса однієї молекули відома:

\[ k = \frac{8.31 \text{ Дж/(моль·К)}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{3 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot (300 \text{ K})}{6.64 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{1242 \cdot 10^{-23}}{6.64 \cdot 10^{-27}}} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{187.05 \cdot 10^4} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{1.8705 \cdot 10^6} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} \approx 1367.6 \text{ м/с} \]

Якщо використати перший варіант формули:

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{3 \cdot (8.31 \text{ Дж/(моль·К)}) \cdot (300 \text{ K})}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}}} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{\frac{7479}{4 \cdot 10^{-3}}} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{1869.75 \cdot 10^3} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} = \sqrt{1.86975 \cdot 10^6} \text{ м/с} \]

\[ v_{ кв. ср.} \approx 1367.4 \text{ м/с} \]

Відповідь: \( \approx 1367 \) м/с