6. Вычислите: \( 2\frac{2}{3} : (\frac{5}{9} - \frac{20}{3}) + 14\frac{1}{4} \).

Задание 6. Вычисление выражения

Дано: выражение \( 2\frac{2}{3} : (\frac{5}{9} - \frac{20}{3}) + 14\frac{1}{4} \).

Решение:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 2\frac{2}{3} = \frac{2 · 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \).
• \( 14\frac{1}{4} = \frac{14 · 4 + 1}{4} = \frac{57}{4} \).
2. Выполним вычитание в скобках: \( \frac{5}{9} - \frac{20}{3} \).
3. Приведём дроби к общему знаменателю (9): \( \frac{5}{9} - \frac{20 · 3}{3 · 3} = \frac{5}{9} - \frac{60}{9} = \frac{5 - 60}{9} = \frac{-55}{9} \).
4. Теперь выполним деление: \( \frac{8}{3} : (\frac{-55}{9}) \). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь: \( \frac{8}{3} · (\frac{9}{-55}) = \frac{8 · 9}{3 · (-55)} = \frac{72}{-165} \).
5. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{24}{-55} \) или \( -\frac{24}{55} \).
6. Теперь сложим полученный результат с \( 14\frac{1}{4} \): \( -\frac{24}{55} + \frac{57}{4} \).
7. Приведём дроби к общему знаменателю (220):
• \( -\frac{24}{55} = -\frac{24 · 4}{55 · 4} = -\frac{96}{220} \).
• \( \frac{57}{4} = \frac{57 · 55}{4 · 55} = \frac{3135}{220} \).
8. Выполним сложение: \( \frac{-96}{220} + \frac{3135}{220} = \frac{3135 - 96}{220} = \frac{3039}{220} \).
9. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: \( \frac{3039}{220} = 13\frac{179}{220} \).

Ответ: \( 13\frac{179}{220} \)