6. Вычислите: 2 2/3 : (5/6 - 20/3) + 14 1/4.

Задание 6

Нужно вычислить значение выражения: \( 2\frac{2}{3} : \left( \frac{5}{6} - \frac{20}{3} \right) + 14\frac{1}{4} \).

Решение:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \( 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \) и \( 14\frac{1}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{57}{4} \).
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6: \( \frac{20}{3} = \frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{40}{3} \).
3. Выполним вычитание в скобках: \( \frac{5}{6} - \frac{40}{6} = \frac{5 - 40}{6} = \frac{-35}{6} \).
4. Теперь выполним деление: \( \frac{8}{3} : \left( \frac{-35}{6} \right) = \frac{8}{3} \cdot \left( \frac{6}{-35} \right) = \frac{8 \cdot 6}{3 \cdot (-35)} = \frac{48}{-105} \).
5. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{48}{-105} = \frac{16}{-35} = -\frac{16}{35} \).
6. Теперь сложим результат с \( 14\frac{1}{4} \): \( -\frac{16}{35} + \frac{57}{4} \).
7. Приведем к общему знаменателю 140: \( -\frac{16 \cdot 4}{35 \cdot 4} = -\frac{64}{140} \) и \( \frac{57 \cdot 35}{4 \cdot 35} = \frac{1995}{140} \).
8. Выполним сложение: \( \frac{-64 + 1995}{140} = \frac{1931}{140} \).
9. Переведем полученную неправильную дробь в смешанное число: \( 1931 : 140 = 13 \) с остатком \( 1931 - 140 \cdot 13 = 1931 - 1820 = 111 \).
10. Таким образом, \( \frac{1931}{140} = 13\frac{111}{140} \).

Ответ: 13 111/140