№6. В цилиндре на расстоянии 8 см от его оси и параллельно ей проведено сечение, диагональ которого равна 13 см. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота равна 5 см.

Решение:

Дан цилиндр. Расстояние от оси до сечения \( d = 8 \) см. Диагональ сечения \( D = 13 \) см. Высота цилиндра \( h = 5 \) см.

Найти: Радиус основания цилиндра \( r \).

1. Найдём сторону сечения, параллельную оси.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Диагональ этого прямоугольника \( D = 13 \) см, одна сторона равна высоте цилиндра \( h = 5 \) см. Найдём вторую сторону прямоугольника (хорду основания) \( c \) по теореме Пифагора:

\( D^2 = h^2 + c^2 \)

\( 13^2 = 5^2 + c^2 \)

\( 169 = 25 + c^2 \)

\( c^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( c = \sqrt{144} = 12 \) см.

2. Найдём радиус основания цилиндра.

Расстояние от оси цилиндра до хорды основания \( d = 8 \) см. Длина хорды \( c = 12 \) см. Хорда делится перпендикуляром из центра основания (проекция оси) пополам. Таким образом, половина хорды равна \( c/2 = 12/2 = 6 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( r \), расстоянием от оси до хорды \( d \) и половиной хорды \( c/2 \).

По теореме Пифагора:

\( r^2 = d^2 + (c/2)^2 \)

\( r^2 = 8^2 + 6^2 \)

\( r^2 = 64 + 36 = 100 \)

\( r = \sqrt{100} = 10 \) см.

Ответ: 10 см.