№4. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна 3√2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Дан конус. Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \). Высота конуса \( h = 3\sqrt{2} \) см.

Найти: Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \).

1. Найдём радиус основания конуса.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей, тангенс угла при основании равен:

\( \tan \alpha = \frac{h}{r} \)

\( \tan 45^{\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{r} \)

\( 1 = \frac{3\sqrt{2}}{r} \)

\( r = 3\sqrt{2} \) см.

2. Найдём образующую конуса.

Используем теорему Пифагора:

\( l^2 = h^2 + r^2 \)

\( l^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 \)

\( l^2 = 18 + 18 = 36 \)

\( l = \sqrt{36} = 6 \) см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Формула площади боковой поверхности конуса:

\( S_{бок} = \pi r l \)

\( S_{бок} = \pi \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 6 \)

\( S_{бок} = 18\sqrt{2} \pi \) см².

Ответ: 18√2π см².