6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 17, sinA =. Найдите ВС

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle C = 90^{\circ} \), катет \( AC = 17 \) и \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

Мы знаем \( AC \) и \( \sin A \). Нам нужно найти \( BC \). Свяжем \( AC \) и \( BC \) с \( \sin A \) и \( \cos A \).

Сначала найдем \( \cos A \) используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \]

Так как \( A \) — острый угол, \( \cos A > 0 \). Следовательно:

\[ \cos A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Теперь воспользуемся определением тангенса:

\[ tg A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{BC}{AC} \]

\[ \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{BC}{17} \]

Упростим левую часть:

\[ \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = 2 \]

Получаем:

\[ 2 = \frac{BC}{17} \]

Выразим \( BC \):

\[ BC = 2 \cdot 17 = 34 \]

Ответ: \( BC = 34 \).