6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgA = 9/40, AC = 20. Найдите АВ.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \operatorname{tg} A = \frac{9}{40} \]
• \[ AC = 20 \]

Найти: AB

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла A — это отношение противолежащего катета BC к прилежащему катету AC: \[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \]
2. Подставим известные значения: \[ \frac{9}{40} = \frac{BC}{20} \]
3. Вычислим длину катета BC: \[ BC = \frac{9}{40} \times 20 = \frac{9}{2} = 4.5 \]
4. Теперь найдем длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
5. Подставим значения катетов: \[ AB^2 = 20^2 + (4.5)^2 \]
6. \[ AB^2 = 400 + 20.25 \]
7. \[ AB^2 = 420.25 \]
8. \[ AB = \sqrt{420.25} \]
9. Чтобы извлечь корень, можно представить 420.25 как дробь: \[ 420.25 = \frac{42025}{100} \]
10. \[ AB = \sqrt{\frac{42025}{100}} = \frac{\sqrt{42025}}{10} \]
11. Извлечем корень из 42025. Так как число оканчивается на 25, корень будет оканчиваться на 5. Проверим число 205: \[ 205^2 = (200+5)^2 = 200^2 + 2 \times 200 \times 5 + 5^2 = 40000 + 2000 + 25 = 42025 \]
12. Значит, \[ \sqrt{42025} = 205 \]
13. Тогда \[ AB = \frac{205}{10} = 20.5 \]

Ответ: 20.5