6) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=3, tgA = 20 / (3√10). Найдите остальные стороны треугольника.

Задание 6. Стороны прямоугольного треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( ∠ C = 90^\circ \).
• \( AC = 3 \).
• \( \text{tg} A = \frac{20}{3\sqrt{10}} \).

Найти: стороны \( BC \) и \( AB \).

Решение:

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\[ \text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{20}{3\sqrt{10}} = \frac{BC}{3} \]

Чтобы найти \( BC \), умножим обе части уравнения на 3:

\[ BC = 3 \cdot \frac{20}{3\sqrt{10}} \]

\[ BC = \frac{20}{\sqrt{10}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( √{10} \):

\[ BC = \frac{20 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{10}}{10} = 2\sqrt{10} \]

Теперь найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 3^2 + (2\sqrt{10})^2 \]

\[ AB^2 = 9 + (4 \cdot 10) \]

\[ AB^2 = 9 + 40 \]

\[ AB^2 = 49 \]

\[ AB = \sqrt{49} \]

\[ AB = 7 \]

Ответ: Сторона BC равна \( 2\sqrt{10} \), сторона AB равна 7.