6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известно, что ДД = 12, СД=21, АД = 16. Найдите длину диагонали СА1.

1. Анализ условия:

• Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
• DD1 = 12 (это высота, ребро, перпендикулярное основанию).
• CD = 21 (длина стороны основания).
• AD = 16 (длина стороны основания).
• Нужно найти длину диагонали CA1.

2. Теоретическая база:

В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула диагонали параллелепипеда: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$, где a, b, c — длины ребер, выходящих из одной вершины.

В данном случае, измерениями параллелепипеда являются:

• Длина: CD = 21
• Ширина: AD = 16
• Высота: DD1 = 12

3. Расчет:

Диагональ CA1 соединяет вершину C с противоположной верхней вершиной A1. Для вычисления длины CA1, мы можем использовать теорему Пифагора дважды, или напрямую формулу диагонали параллелепипеда.

Способ 1: Через диагональ основания AC.

1. Найдем длину диагонали основания AC. Треугольник ADC — прямоугольный (так как ABCD — прямоугольник).
2. По теореме Пифагора для треугольника ADC:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ AC^2 = 16^2 + 21^2 \]

\[ AC^2 = 256 + 441 \]

\[ AC^2 = 697 \]

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACA1 (так как AA1 перпендикулярно плоскости основания).
4. По теореме Пифагора для треугольника ACA1:

\[ CA1^2 = AC^2 + AA1^2 \]

\[ CA1^2 = 697 + 12^2 \]

\[ CA1^2 = 697 + 144 \]

\[ CA1^2 = 841 \]

\[ CA1 = \sqrt{841} \]

\[ CA1 = 29 \]

Способ 2: Через формулу диагонали параллелепипеда.

Измерения параллелепипеда: a = CD = 21, b = AD = 16, c = DD1 = 12.

\[ CA1 = \sqrt{CD^2 + AD^2 + DD1^2} \]

\[ CA1 = \sqrt{21^2 + 16^2 + 12^2} \]

\[ CA1 = \sqrt{441 + 256 + 144} \]

\[ CA1 = \sqrt{841} \]

\[ CA1 = 29 \]

Ответ: Длина диагонали CA1 равна 29.