3. MN — перпендикуляр к плоскости, МС — наклонная, NC — её проекция на плоскость, СК — прямая на плоскости, перпендикулярная прямой NC. Выполни чертёж и найди NC, если MC=41, MN=40.

1. Анализ условия:

• MN ⊥ плоскости.
• МС — наклонная к этой плоскости.
• NC — проекция наклонной МС на эту плоскость.
• СК ⊥ NC.
• MC = 41, MN = 40.

2. Теоретическая база:

• По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3. Построение чертежа:

1. Нарисуем плоскость (горизонтальную линию).
2. Отметим точку N на плоскости.
3. Из точки N проведем перпендикуляр MN вверх.
4. Из точки M проведем наклонную MC к плоскости.
5. NC — проекция MC на плоскость, значит, NC лежит на плоскости и MN ⊥ NC.
6. Точка K лежит на плоскости, и СК ⊥ NC.

4. Нахождение NC:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник MNC (так как MN перпендикулярно плоскости, то MN перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая NC).
• По теореме Пифагора для треугольника MNC:

\[ MC^2 = MN^2 + NC^2 \]

\[ 41^2 = 40^2 + NC^2 \]

\[ 1681 = 1600 + NC^2 \]

\[ NC^2 = 1681 - 1600 \]

\[ NC^2 = 81 \]

\[ NC = \sqrt{81} \]

\[ NC = 9 \]

5. Важность СК:

Информация о прямой СК (СК ⊥ NC) является избыточной для нахождения длины NC, но она подтверждает, что NC — это проекция MC, и что в плоскости имеется прямая, перпендикулярная этой проекции.

Ответ: NC = 9.