6. Сторона треугольника 28см, а две другие образуют между собой угол 60° и относятся как 8:3. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\).

Дано: \(c = 28\) см.

Две другие стороны относятся как \(8:3\), то есть \(a : b = 8 : 3\).

Пусть \(a = 8x\) и \(b = 3x\).

Угол между сторонами \(a\) и \(b\) равен \(60°\).

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C) \]

Где \(\angle C = 60°\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Подставим известные значения:

\[ 28^2 = (8x)^2 + (3x)^2 - 2(8x)(3x) \cos(60°) \]

\[ 784 = 64x^2 + 9x^2 - 48x^2 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ 784 = 64x^2 + 9x^2 - 24x^2 \]

\[ 784 = 49x^2 \]

\[ x^2 = \frac{784}{49} \]

\[ x^2 = 16 \]

\[ x = \sqrt{16} = 4 \]

Теперь найдём длины сторон \(a\) и \(b\):

\(a = 8x = 8 \cdot 4 = 32\) см.

\(b = 3x = 3 \cdot 4 = 12\) см.

Периметр треугольника \(P\) равен сумме длин всех его сторон:

\[ P = a + b + c = 32 + 12 + 28 = 72 \text{ см.} \]

Ответ: 72 см.