6) С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°.

Задание 6. Построение угла 135°

Инструменты: Циркуль и линейка.

Построение:

1. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точку \( O \) — это будет вершина угла. Через точку \( O \) проведите луч \( OA \) в одном направлении.
2. С помощью циркуля постройте прямой угол \( 90^\circ \). Для этого из точки \( O \) проведите окружность произвольного радиуса, пересекающую луч \( OA \) в точке \( K \). Из \( K \) проведите дугу тем же радиусом, получив точку \( M \). Из \( M \) проведите дугу, получив точку \( N \). Соедините \( O \) с \( N \) — луч \( ON \) будет перпендикулярен \( OA \), образуя прямой угол \( ∠ AON = 90^\circ \).
3. Теперь нужно добавить \( 45^\circ \) к прямому углу. Для этого разделите прямой угол \( ∠ AON \) пополам. Постройте биссектрису угла \( AON \). Для этого из точек \( A \) и \( N \) проведите дуги одинакового радиуса, пересекающиеся в точке \( P \). Соедините \( O \) с \( P \). Луч \( OP \) разделит прямой угол пополам.
4. Угол \( ∠ AOP = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
5. Искомый угол \( 135^\circ \) равен сумме прямого угла и половины прямого угла: \( ∠ AOC = ∠ AON + ∠ NOP \) (если точка C лежит на луче ON, а луч OP является биссектрисой угла AON).
6. Однако, чаще всего строится угол 135° как сумма 90° и 45°. То есть, если у нас есть прямой угол \( AON = 90^\circ \), то мы можем построить угол \( 135^\circ \) как \( ∠ AOQ \), где \( ∠ NOQ = 45^\circ \).
7. Проще: постройте прямой угол \( 90^\circ \). Затем, отложите от одной из сторон прямого угла угол \( 45^\circ \) (построив его как половину прямого угла). Сумма этих углов и будет \( 135^\circ \).

Инструкция по построению:

1. Проведите горизонтальную прямую. Отметьте точку \( O \) на ней. Проведите луч \( OA \) вправо.
2. Из \( O \) постройте перпендикуляр \( ON \) вверх. Таким образом, \( ∠ AON = 90^\circ \).
3. Разделите \( ∠ AON \) пополам, построив биссектрису \( OP \). Теперь \( ∠ NOP = 45^\circ \).
4. Угол \( ∠ AOP = ∠ AON + ∠ NOP = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ \).