6. Решите уравнение x² + y² - 8x + 2y + 17 = 0.

Решение:

Приведем уравнение к виду, где можно выделить полные квадраты.

1. Сгруппируем члены с x и y:
• (x² - 8x) + (y² + 2y) + 17 = 0
2. Выделим полные квадраты. Для этого к членам с x добавим (8/2)² = 16, а к членам с y добавим (2/2)² = 1. Чтобы значение уравнения не изменилось, вычтем эти же числа:
• (x² - 8x + 16) - 16 + (y² + 2y + 1) - 1 + 17 = 0
3. Теперь можно свернуть полные квадраты:
• (x - 4)² + (y + 1)² - 16 - 1 + 17 = 0
• (x - 4)² + (y + 1)² + 0 = 0
• (x - 4)² + (y + 1)² = 0
4. Сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю (так как квадраты неотрицательны).
• (x - 4)² = 0 => x - 4 = 0 => x = 4
• (y + 1)² = 0 => y + 1 = 0 => y = -1

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: x = 4, y = -1