6. Решите уравнение: x/(x-5) + (3x+15)/(x²-25) = 0.

Задание 6. Решение уравнения

Для решения этого уравнения, в котором есть дроби, нам нужно привести все к общему знаменателю. Перед этим разложим знаменатель x² - 25 на множители, так как это разность квадратов: x² - 25 = (x - 5)(x + 5).

Теперь наше уравнение выглядит так:

x / (x - 5) + (3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

Общий знаменатель для этих дробей — (x - 5)(x + 5). Теперь приведем первую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на (x + 5).

(x * (x + 5)) / ((x - 5)(x + 5)) + (3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

(x² + 5x) / ((x - 5)(x + 5)) + (3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, мы можем сложить числители:

(x² + 5x + 3x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

(x² + 8x + 15) / ((x - 5)(x + 5)) = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. То есть:

x² + 8x + 15 = 0

При этом знаменатель (x - 5)(x + 5) ≠ 0, значит x ≠ 5 и x ≠ -5.

Решим квадратное уравнение x² + 8x + 15 = 0. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

С помощью теоремы Виета:

Ищем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5.

x₁ = -3

x₂ = -5

Проверка:

Мы нашли, что x ≠ 5 и x ≠ -5. Поэтому корень x = -5 не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль.

Подходит только корень x = -3.

Ответ: x = -3.