6. Прямые МА и МВ касаются в точках А и В окружности с центром О. Найдите ∠OAB, если ∠AMB = 56°.

Дано:

• Окружность с центром О.
• МА и МВ — касательные к окружности в точках А и В.
• \[ \angle AMB = 56^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle OAB \]

Решение:

1. ∠ AMB = 56°.
2. MA и MB — касательные к окружности. Радиусы OA и OB, проведенные в точки касания, перпендикулярны к касательным.
3. \[ \angle OAM = 90^{\circ} \]
4. \[ \angle OBM = 90^{\circ} \]
5. Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
6. \[ \angle AOB + \angle OAM + \angle AMB + \angle OBM = 360^{\circ} \]
7. \[ \angle AOB + 90^{\circ} + 56^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]
8. \[ \angle AOB + 236^{\circ} = 360^{\circ} \]
9. \[ \angle AOB = 360^{\circ} - 236^{\circ} = 124^{\circ} \]
10. Рассмотрим ∆OAB.
11. OA и OB — радиусы окружности, поэтому\[ OA = OB \].
12. Следовательно, ∆OAB — равнобедренный.
13. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:\[ \angle OAB = \angle OBA \]
14. Сумма углов в ∆OAB равна 180°.
15. \[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \]
16. \[ \angle OAB + \angle OAB + 124^{\circ} = 180^{\circ} \]
17. \[ 2 \angle OAB = 180^{\circ} - 124^{\circ} \]
18. \[ 2 \angle OAB = 56^{\circ} \]
19. \[ \angle OAB = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ} \]

Ответ: 28°