6. Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов x²+bx+c и x²+ax+d известно, что 0 < a < b < c < d. Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

Дано:

• Два квадратных трёхчлена: \( P(x) = x^2 + bx + c \) и \( Q(x) = x^2 + ax + d \).
• Коэффициенты удовлетворяют условию: \( 0 < a < b < c < d \).

Вопрос: Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

Решение:

Пусть \( x_0 \) — общий корень этих двух трёхчленов. Тогда:

\[ x_0^2 + bx_0 + c = 0 \quad (1) \]

\[ x_0^2 + ax_0 + d = 0 \quad (2) \]

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\[ (x_0^2 + bx_0 + c) - (x_0^2 + ax_0 + d) = 0 \]

\[ bx_0 + c - ax_0 - d = 0 \]

\[ x_0 (b - a) + (c - d) = 0 \]

\[ x_0 (b - a) = d - c \]

Из условия \( 0 < a < b < c < d \), мы знаем, что:

• \( b - a > 0 \) (так как \( b > a \))
• \( d - c > 0 \) (так как \( d > c \))

Таким образом, \( x_0 = \frac{d - c}{b - a} \).

Поскольку \( d - c > 0 \) и \( b - a > 0 \), то \( x_0 > 0 \).

Теперь подставим найденное значение \( x_0 \) в одно из исходных уравнений. Подставим в уравнение (2):

\[ \left(\frac{d - c}{b - a}\right)^2 + a \left(\frac{d - c}{b - a}\right) + d = 0 \]

Умножим всё на \( (b - a)^2 \) (так как \( b  a  0 \)):

\[ (d - c)^2 + a (d - c)(b - a) + d (b - a)^2 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ d^2 - 2cd + c^2 + a (bd - ad - bc + ac) + d (b^2 - 2ab + a^2) = 0 \]

\[ d^2 - 2cd + c^2 + abd - a^2d - abc + a^2c + db^2 - 2abd + a^2d = 0 \]

Заметим, что \( -a^2d \) и \( +a^2d \) взаимно уничтожаются. Также \( abd \) и \( -2abd \) сокращаются до \( -abd \).

\[ d^2 - 2cd + c^2 - abd - abc + a^2c + db^2 = 0 \]

Это уравнение должно выполняться для существования общего корня.

Рассмотрим также вычитание \( (2) - (1) \):

\[ (x_0^2 + ax_0 + d) - (x_0^2 + bx_0 + c) = 0 \]

\[ ax_0 + d - bx_0 - c = 0 \]

\[ x_0 (a - b) + (d - c) = 0 \]

\[ x_0 (a - b) = c - d \]

\[ x_0 (b - a) = d - c \]

Это то же самое уравнение, что и было получено.

Теперь, чтобы ответить на вопрос, могут ли они иметь общий корень, попробуем найти конкретные значения \( a, b, c, d \), удовлетворяющие условию \( 0 < a < b < c < d \), и проверить, возможно ли выполнение уравнений.

Попробуем выбрать простые значения. Пусть \( a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 \).

Тогда \( b - a = 2 - 1 = 1 \) и \( d - c = 4 - 3 = 1 \).

Общий корень \( x_0 = \frac{d - c}{b - a} = \frac{1}{1} = 1 \).

Проверим, является ли \( x_0 = 1 \) корнем обоих трёхчленов:

Первый трёхчлен: \( x^2 + bx + c = x^2 + 2x + 3 \).

Подставим \( x = 1 \): \( 1^2 + 2(1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 \). \( 6  0 \). Значит, \( x = 1 \) не является корнем.

Второй трёхчлен: \( x^2 + ax + d = x^2 + 1x + 4 \).

Подставим \( x = 1 \): \( 1^2 + 1(1) + 4 = 1 + 1 + 4 = 6 \). \( 6  0 \). Значит, \( x = 1 \) не является корнем.

Этот пример показывает, что при таких значениях общего корня нет.

Давайте попробуем найти условие, при котором общий корень существует.

Из \( x_0 (b - a) = d - c \) следует \( x_0 = \frac{d-c}{b-a} \).

Подставим \( x_0 \) в \( x_0^2 + ax_0 + d = 0 \):

\[ \left(\frac{d-c}{b-a}\right)^2 + a\frac{d-c}{b-a} + d = 0 \]

\[ (d-c)^2 + a(d-c)(b-a) + d(b-a)^2 = 0 \]

Рассмотрим выражение \( P(x_0) = Q(x_0) \).

\( x_0^2 + bx_0 + c = x_0^2 + ax_0 + d \)

\[ bx_0 + c = ax_0 + d \]

\[ x_0 (b-a) = d-c \]

\[ x_0 = \frac{d-c}{b-a} \]

Для того, чтобы \( x_0 \) был действительным корнем, дискриминанты обоих квадратных трёхчленов должны быть неотрицательны.

Дискриминант первого трёхчлена: \( D_1 = b^2 - 4c \).

Дискриминант второго трёхчлена: \( D_2 = a^2 - 4d \).

Для существования действительных корней, \( b^2 - 4c  0 \) и \( a^2 - 4d  0 \).

Из условия \( 0 < a < b < c < d \):

• \( b^2 < c^2 \) (так как \( b < c \) и \( b, c > 0 \))
• \( b^2 < c^2 < c  \) (если \( c > 1 \))
• \( c < d \)
• \( 4c > 4a \)
• \( 4d > 4a \)

Рассмотрим случай, когда \( x_0 \) — общий корень. Тогда:

\[ x_0 = \frac{d-c}{b-a} \]

Из \( x_0^2 + ax_0 + d = 0 \) мы имеем \( x_0 = \frac{-a  (a^2 - 4d)}{2} \).

Из \( x_0^2 + bx_0 + c = 0 \) мы имеем \( x_0 = \frac{-b  (b^2 - 4c)}{2} \).

Пусть общий корень равен \( x_0 \). Тогда \( x_0^2 + bx_0 + c = 0 \) и \( x_0^2 + ax_0 + d = 0 \).

Это означает, что \( x_0 \) удовлетворяет уравнению \( (b-a)x_0 = d-c \).

Так как \( b > a \) и \( d > c \), то \( b-a > 0 \) и \( d-c > 0 \). Следовательно, \( x_0 = \frac{d-c}{b-a} > 0 \).

Теперь подставим \( x_0 \) в первое уравнение: \( x_0^2 + ax_0 + d = 0 \).

\[ \frac{(d-c)^2}{(b-a)^2} + a \frac{d-c}{b-a} + d = 0 \]

\[ (d-c)^2 + a(d-c)(b-a) + d(b-a)^2 = 0 \]

Рассмотрим случай, когда \( a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 \). Тогда \( x_0 = \frac{4-3}{2-1} = 1 \).

\( 1^2 + 1(1) + 4 = 6  0 \). \( 1^2 + 2(1) + 3 = 6  0 \).

Рассмотрим случай, когда \( a=1, b=3, c=5, d=7 \). Тогда \( b-a=2, d-c=2 \). \( x_0 = \frac{2}{2} = 1 \).

\( x^2 + 3x + 5 \) при \( x=1 \) равно \( 1+3+5 = 9  0 \).

\( x^2 + x + 7 \) при \( x=1 \) равно \( 1+1+7 = 9  0 \).

Рассмотрим случай, когда \( a=2, b=3, c=5, d=6 \). Тогда \( b-a=1, d-c=1 \). \( x_0 = \frac{1}{1} = 1 \).

\( x^2 + 3x + 5 \) при \( x=1 \) равно \( 1+3+5 = 9  0 \).

\( x^2 + 2x + 6 \) при \( x=1 \) равно \( 1+2+6 = 9  0 \).

Попробуем найти такие \( a, b, c, d \), чтобы \( x_0 \) был корнем.

Если \( x_0 \) — общий корень, то \( x_0^2 = -ax_0 - d = -bx_0 - c \).

\[ ax_0 + d = bx_0 + c \]

\[ (b-a)x_0 = d-c \]

\[ x_0 = \frac{d-c}{b-a} \]

Подставим в \( x^2 + ax + d = 0 \):

\[ \frac{(d-c)^2}{(b-a)^2} + a \frac{d-c}{b-a} + d = 0 \]

\[ (d-c)^2 + a(d-c)(b-a) + d(b-a)^2 = 0 \]

Это уравнение должно выполняться. Давайте попробуем найти значения, для которых это возможно.

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + ax + d \) и \( g(x) = x^2 + bx + c \).

Если \( x_0 \) — общий корень, то \( f(x_0) = g(x_0) = 0 \).

\( x_0(b-a) = d-c \).

Рассмотрим функцию \( h(x) = f(x) - g(x) = (a-b)x + (d-c) \).

Общий корень \( x_0 \) является корнем \( h(x)=0 \), если \( a  b \).

Если \( a = b \), то \( d-c = 0 \), то есть \( d=c \). Но по условию \( a < b \) и \( c < d \).

Значит, \( a  b \) и \( c  d \).

Пусть \( x_0 \) — общий корень. Тогда \( x_0 = \frac{d-c}{b-a} \).

Так как \( d > c \) и \( b > a \), то \( d-c > 0 \) и \( b-a > 0 \), значит \( x_0 > 0 \).

Подставим \( x_0 \) в \( x^2 + ax + d = 0 \):

\[ x_0^2 + ax_0 + d = 0 \]

Поскольку \( x_0 > 0 \) и \( a > 0 \) и \( d > 0 \), то \( x_0^2 + ax_0 + d > 0 \). Это противоречие.

Значит, общий положительный корень невозможен.

Может ли быть отрицательный корень? Если \( x_0 < 0 \), то \( b-a > 0 \) и \( d-c > 0 \). \( x_0 = \frac{d-c}{b-a} \). Если \( x_0 < 0 \), то \( \frac{d-c}{b-a} < 0 \). Но \( d-c > 0 \) и \( b-a > 0 \), значит \( \frac{d-c}{b-a} > 0 \). Это противоречие.

Таким образом, общий корень \( x_0 \) не может быть ни положительным, ни отрицательным. Единственная возможность — \( x_0 = 0 \).

Если \( x_0 = 0 \), то:

Из \( x_0 (b - a) = d - c \) следует \( 0  (b - a) = d - c \), то есть \( d - c = 0 \), \( d = c \). Но по условию \( c < d \). Значит, \( x_0  0 \).

Возникает противоречие. Однако, мы предположили, что \( a, b, c, d \) — действительные числа. Если \( x_0 \) — действительный общий корень, то \( x_0^2 + ax_0 + d = 0 \).

Если \( x_0 > 0 \), то \( x_0^2 > 0, ax_0 > 0, d > 0 \), следовательно, \( x_0^2 + ax_0 + d > 0 \), что невозможно.

Если \( x_0 < 0 \), то \( b-a > 0 \), \( d-c > 0 \), \( x_0 = \frac{d-c}{b-a} > 0 \). Это противоречие с \( x_0 < 0 \).

Значит, единственный возможный общий корень — \( x_0 = 0 \). Но как мы показали, \( x_0 = 0 \) невозможно из-за \( c < d \).

Значит, таких действительных общих корней не существует.

Ответ: Нет.