4. На рисунке справа изображён график функции y = x² + ax + b. Известно, что прямая AB перпендикулярна прямой y = x. Найдите длину отрезка OC.

Дано:

• График функции: \( y = x^2 + ax + b \)
• Прямая AB перпендикулярна прямой \( y = x \)

Решение:

На графике изображена парабола. Точка O — начало координат (0,0). Точка C — точка пересечения параболы с осью Ox (ордината равна 0). Точка A — одна из точек пересечения параболы с осью Ox (абсцисса отрицательна). Точка B — вершина параболы (абсцисса равна 0, ордината отрицательна).

Из уравнения параболы \( y = x^2 + ax + b \) следует, что ось симметрии параболы — прямая \( x = -\frac{a}{2} \).

Поскольку точка B лежит на оси Oy, её абсцисса равна 0. Это означает, что \( -\frac{a}{2} = 0 \), откуда \( a = 0 \).

Тогда уравнение параболы принимает вид \( y = x^2 + b \).

Координаты точки B — \( (0; b) \). Так как B лежит на отрицательной полуоси Oy, то \( b < 0 \).

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Пусть \( A = (x_A, 0) \) и \( B = (0, b) \).

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид: \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \).

Подставляем координаты точек A и B:

\( \frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - x_A}{0 - x_A} \)

\( \frac{y}{b} = \frac{x - x_A}{-x_A} \)

\( y = b \left( \frac{x - x_A}{-x_A} \right) = b \left( 1 - \frac{x}{x_A} \right) = -\frac{b}{x_A} x + b \)

Это уравнение прямой AB. Угловой коэффициент прямой AB равен \( k_{AB} = -\frac{b}{x_A} \).

Прямая AB перпендикулярна прямой \( y = x \). Угловой коэффициент прямой \( y = x \) равен 1.

Условие перпендикулярности двух прямых: \( k_1  k_2 = -1 \).

\( k_{AB}  1 = -1 \)  \( k_{AB} = -1 \).

Значит, \( -\frac{b}{x_A} = -1 \), откуда \( b = x_A \).

Так как точка A лежит на оси Ox и \( x_A < 0 \), то \( b < 0 \). Это согласуется с тем, что точка B лежит на отрицательной полуоси Oy.

Точка A лежит на параболе \( y = x^2 + b \). Подставляем координаты точки A \( (x_A, 0) \):

\( 0 = x_A^2 + b \)

\( x_A^2 = -b \)

Так как \( x_A = b \), то:

\( b^2 = -b \)

\( b^2 + b = 0 \)

\( b(b + 1) = 0 \)

Возможные значения b: \( b = 0 \) или \( b = -1 \).

По условию, точка B лежит на отрицательной полуоси Oy, значит \( b < 0 \). Следовательно, \( b = -1 \).

Тогда \( x_A = b = -1 \).

Координаты точки A: \( (-1; 0) \).

Координаты точки B: \( (0; -1) \).

Точка C — точка пересечения параболы с осью Ox. Уравнение оси Ox: \( y = 0 \).

\( x^2 + b = 0 \)

\( x^2 - 1 = 0 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = 1 \).

На графике точка C расположена на положительной полуоси Ox, поэтому её абсцисса равна 1. Координаты точки C: \( (1; 0) \).

Длина отрезка OC — это расстояние от начала координат \( (0; 0) \) до точки \( C = (1; 0) \).

Длина OC = \( 1 - 0  = 1 \).

Ответ: 1