6. Площадь y = x³ от 0 до 1

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = x^3 \) и осью Ox на отрезке от 0 до 1, нужно вычислить определённый интеграл:

\[ S = \int_0^1 x^3 dx \]

Найдем первообразную для \( x^3 \):

\[ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \]

Ответ: Площадь равна \( \frac{1}{4} \).