6. Площадь сечения куба ABCDA, B, C, D, плоскостью АВС, равна 81√2 см². Найдите: а) диагональ куба б) площадь сечения куба плоскостью ACD₁

Решение:

а) Диагональ куба

Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ основания и противоположное боковое ребро, равна произведению длины диагонали основания на длину бокового ребра.

Пусть \( a \) — длина ребра куба. Тогда диагональ основания равна \( a\sqrt{2} \), а боковое ребро равно \( a \).

Площадь сечения равна \( a\sqrt{2} \cdot a = a^2\sqrt{2} \).

По условию, площадь сечения равна \( 81\sqrt{2} \text{ см}^2 \). Следовательно:

\( a^2\sqrt{2} = 81\sqrt{2} \)

\( a^2 = 81 \)

\( a = 9 \text{ см} \) (так как длина ребра положительна).

Диагональ куба \( d \) находится по формуле \( d = a\sqrt{3} \).

\( d = 9\sqrt{3} \text{ см} \).

б) Площадь сечения куба плоскостью ACD₁

Плоскость \( ACD_1 \) пересекает куб по прямоугольнику \( ACD_1B_1 \).

Длина стороны \( AC \) (диагональ основания) равна \( a\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ см} \).

Длина стороны \( CD_1 \) (боковое ребро) равна \( a = 9 \text{ см} \).

Площадь прямоугольника \( ACD_1B_1 \) равна произведению его сторон:

\( S_{ACD_1B_1} = AC · CD_1 = 9\sqrt{2} · 9 = 81\sqrt{2} \text{ см}^2 \).

Ответ: а) 9√3 см; б) 81√2 см².