6. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, осью ОХ и графиком функции y=f(x): a=3, b=4, f(x)=x^2.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле определённого интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( a=3 \), \( b=4 \) и \( f(x) = x^2 \).

\( S = \int_{3}^{4} x^2 dx \)

Найдём первообразную для \( x^2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ S = F(4) - F(3) = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{64 - 27}{3} = \frac{37}{3} \]

\( \frac{37}{3} = 12 \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{37}{3} \) или \( 12\frac{1}{3} \).