6. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, осью ОХ и графиком функции y=f(x): a=-2, b=1, f(x)=x² +1.

6. Найти площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция ограничена прямыми \( x=a \), \( x=b \), осью ОХ и графиком функции \( y=f(x) \). Площадь такой трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае:

• \( a = -2 \)
• \( b = 1 \)
• \( f(x) = x^2 + 1 \)

Подставим значения в формулу:

\[ S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) dx \]

Найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 1 \):

\( F(x) = \frac{x^3}{3} + x \)

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = F(b) - F(a) = F(1) - F(-2) \]

\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2) \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-8}{3} - 2 \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) - \left( \frac{-8}{3} - \frac{6}{3} \right) \]

\[ S = \frac{4}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) \]

\[ S = \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6 \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна 6.