1. Вычислите: a) 81^(1/4) - 3 * sqrt(3) * 3^(1/2) б) log_2(50) - 2 * log_2(5) 2. Решите уравнение: a) 3^(x-4) = 1 б) log_2(2x-1) + log_2(x+5) = log_2(13) в) 9^x - 6 * 3^x - 27 = 0 3. Решите неравенства: a) 5^(4x-7) > 1 б) log_2(5x-1) > 0 4. Построить график функции: f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1. 5. Решите задачу: Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10м. Найдите площадь сечения. 6. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, осью ОХ и графиком функции y=f(x): a=3, b=4, f(x)=x^2.

1. Вычисление:

1. а) \( 81^{\frac{1}{4}} - 3 \sqrt{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \)
   \( 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \)
   \( 3 \sqrt{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3 \cdot 3^1 = 9 \)
   \( 3 - 9 = -6 \)
2. б) \( \log_2(50) - 2 \log_2(5) \)
   \( \log_2(50) - \log_2(5^2) = \log_2(50) - \log_2(25) \)
   \( \log_2(\frac{50}{25}) = \log_2(2) = 1 \)

2. Решение уравнений:

1. а) \( 3^{x-4} = 1 \)
   \( 3^{x-4} = 3^0 \)
   \( x-4 = 0 \)
   \( x = 4 \)
2. б) \( \log_2(2x-1) + \log_2(x+5) = \log_2(13) \)
   \( \log_2((2x-1)(x+5)) = \log_2(13) \)
   \( (2x-1)(x+5) = 13 \)
   \( 2x^2 + 10x - x - 5 = 13 \)
   \( 2x^2 + 9x - 18 = 0 \)
   \( D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 \)
   \( \sqrt{D} = 15 \)
   \( x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5 \)
   \( x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6 \)
   Проверка ОДЗ: \( 2x-1 > 0 \implies x > 0.5 \) и \( x+5 > 0 \implies x > -5 \). Подходит только \( x = 1.5 \).
3. в) \( 9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0 \)
   Пусть \( y = 3^x \). Тогда \( y^2 - 6y - 27 = 0 \)
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \)
   \( \sqrt{D} = 12 \)
   \( y_1 = \frac{6 + 12}{2} = 9 \) и \( y_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3 \)
   \( 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 \)
   \( 3^x = -3 \) — решений нет, так как \( 3^x > 0 \)

3. Решение неравенств:

1. а) \( 5^{4x-7} > 1 \)
   \( 5^{4x-7} > 5^0 \)
   \( 4x-7 > 0 \)
   \( 4x > 7 \)
   \( x > \frac{7}{4} \)
2. б) \( \log_2(5x-1) > 0 \)
   \( \log_2(5x-1) > \log_2(1) \)
   \( 5x-1 > 1 \) и \( 5x-1 > 0 \)
   \( 5x > 2 \) и \( 5x > 1 \)
   \( x > \frac{2}{5} \) и \( x > \frac{1}{5} \)
   Объединяем: \( x > \frac{2}{5} \)

4. Построение графика функции:

Для построения графика \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) найдём первую и вторую производные:

\( f'(x) = 6x^2 - 6x \)

\( f''(x) = 12x - 6 \)

Точки экстремума:

\( 6x^2 - 6x = 0 \implies 6x(x-1) = 0 \implies x=0 \) или \( x=1 \).

При \( x=0 \), \( f(0) = 1 \) (точка максимума).

При \( x=1 \), \( f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \) (точка минимума).

Точка перегиба:

\( 12x - 6 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \).

При \( x = \frac{1}{2} \), \( f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). Точка перегиба: \( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \).