6. Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{15} - \sqrt{12}}{\sqrt{20}} \)

Решение:

1. Преобразуем числитель и знаменатель дроби, выделив множители под корнями: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) и \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \).
2. Подставим преобразованные корни в исходное выражение: \[ \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \]
3. Вынесем общий множитель \( \sqrt{3} \) из первого члена числителя: \( \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \).
4. Перепишем выражение: \[ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - 2)}{2\sqrt{5}} \]
5. Разделим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \): \[ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - 2)}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}} \]
6. Упростим вторую дробь: \( \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{5}} \).
7. Умножим \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) на \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
8. Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 - \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{15}}{5} \]
9. Приведём к общему знаменателю 10: \[ \frac{5\sqrt{3}}{10} - \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{10} \]
10. Другой способ упрощения после шага 4:
11. Разделим каждый член числителя на знаменатель: \[ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - 2)}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2\sqrt{5}} \]
12. Упростим: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \]
13. Приведём к общему знаменателю \( 2\sqrt{5} \): \[ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \]
14. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \): \[ \frac{(\sqrt{15} - 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{75} - 2\sqrt{15}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3} - 2\sqrt{15}}{10} = \frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{10} \]

Ответ: \( \frac{5\sqrt{3} - 2\sqrt{15}}{10} \).