6. Найдите корень уравнения: \( \log_{3}^{}(10 – x) = -3 \).

Решение:

Чтобы найти корень уравнения, воспользуемся определением логарифма. Если \( \log_{a}b = c \), то \( a^{c} = b \).

В нашем случае:

• Основание логарифма \( a = 3 \)
• Значение логарифма \( c = -3 \)
• Аргумент логарифма \( b = 10 - x \)

Запишем уравнение в показательной форме:

\[ 3^{-3} = 10 - x \]

Вычислим \( 3^{-3} \):

\[ 3^{-3} = \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27} \]

Теперь решим полученное линейное уравнение:

\[ \frac{1}{27} = 10 - x \]

Выразим \( x \):

\[ x = 10 - \frac{1}{27} \]

Приведем \( 10 \) к дроби со знаменателем 27:

\[ x = \frac{10 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27} = \frac{270}{27} - \frac{1}{27} = \frac{269}{27} \]

Проверим условие существования логарифма: \( 10 - x > 0 \). \( 10 - \frac{269}{27} = \frac{270-269}{27} = \frac{1}{27} > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: \( \frac{269}{27} \)