6. Найдите корень уравнения $$2^{\log_9{(2x+2)}} = 4$$ Ответ:

Решение:

Дано уравнение: \( 2^{\log_9{(2x+2)}} = 4 \).

Представим 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).

Тогда уравнение примет вид: \( 2^{\log_9{(2x+2)}} = 2^2 \).

Приравниваем показатели степени: \( \log_9{(2x+2)} = 2 \).

Теперь перейдем от логарифмического уравнения к показательному. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае: \( a=9 \), \( b=(2x+2) \), \( c=2 \).

Следовательно: \( 9^2 = 2x+2 \).

Вычисляем \( 9^2 \): \( 81 = 2x+2 \).

Решаем полученное линейное уравнение:

\( 81 - 2 = 2x \)

\( 79 = 2x \)

\( x = \frac{79}{2} \)

\( x = 39.5 \).

Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

Для логарифма \( \log_9{(2x+2)} \) аргумент должен быть положительным: \( 2x+2 > 0 \).

\( 2x > -2 \)

\( x > -1 \).

Полученный корень \( x = 39.5 \) удовлетворяет условию \( x > -1 \).

Ответ: 39.5