6. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательные в точках A и B пересекаются в точке C.
• \(\nolimits\) \(\angle\) ACB = 82^{\(\circ\)}.

Найти:

• \(\nolimits\) \(\angle\) ABO

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. AC и BC — отрезки касательных, проведенных из одной точки C. Следовательно, AC = BC.
2. Треугольник ABC — равнобедренный.
3. Углы при основании равны: \(\nolimits\) \(\angle\) CAB = \(\angle\) CBA.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
5. \(\nolimits\) \(\angle\) CAB + \(\angle\) CBA + \(\angle\) ACB = 180^{\(\circ\)}.
6. \(\nolimits\) 2 \(\nolimits\) \(\times\) \(\angle\) CBA + 82^{\(\circ\)} = 180^{\(\circ\)}.
7. \(\nolimits\) 2 \(\nolimits\) \(\times\) \(\angle\) CBA = 180^{\(\circ\)} - 82^{\(\circ\)} = 98^{\(\circ\)}.
8. \(\nolimits\) \(\angle\) CBA = \(\frac{98^{\circ}}{2}\) = 49^{\(\circ\)}.
9. Теперь рассмотрим треугольник ABO. OA и OB — радиусы окружности, поэтому OA = OB.
10. Треугольник ABO — равнобедренный.
11. Угол ABO является частью угла CBA.
12. Так как OA — радиус, проведенный в точку касания A, то OA перпендикулярна касательной AC.
13. \(\nolimits\) \(\angle\) OAC = 90^{\(\circ\)}.
14. В треугольнике OAC: \(\nolimits\) \(\angle\) AOC + \(\angle\) OAC + \(\angle\) OCA = 180^{\(\circ\)}.
15. \(\nolimits\) \(\angle\) AOC + 90^{\(\circ\)} + \(\angle\) OCA = 180^{\(\circ\)}.
16. \(\nolimits\) \(\angle\) AOC + \(\angle\) OCA = 90^{\(\circ\)}.
17. Угол OCA равен половине угла ACB, так как CO — биссектриса угла ACB в равнобедренном треугольнике ABC.
18. \(\nolimits\) \(\angle\) OCA = \(\frac{82^{\circ}}{2}\) = 41^{\(\circ\)}.
19. \(\nolimits\) \(\angle\) AOC = 90^{\(\circ\)} - 41^{\(\circ\)} = 49^{\(\circ\)}.
20. Теперь рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).
21. \(\nolimits\) \(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA \(или \nolimits \angle ABO\).
22. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB = 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) AOC = 180^{\(\circ\)} - 49^{\(\circ\)} = 131^{\(\circ\)}. (Это ошибка, AC и BC - касательные, они пересекаются. Рисунок в задаче показывает, что точки A и B на окружности, а касательные проведены в этих точках).
23. Переформулируем решение, исходя из рисунка, где касательные пересекаются вне окружности.
24. Пусть касательные в точках A и B пересекаются в точке P. Тогда \(\nolimits\) \(\angle\) APB = 82^{\(\circ\)}.
25. Рассмотрим четырехугольник OAPB.
26. \(\nolimits\) \(\angle\) OAP = 90^{\(\circ\)} (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).
27. \(\nolimits\) \(\angle\) OBP = 90^{\(\circ\)} (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).
28. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
29. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB + \(\angle\) OAP + \(\angle\) APB + \(\angle\) OBP = 360^{\(\circ\)}.
30. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB + 90^{\(\circ\)} + 82^{\(\circ\)} + 90^{\(\circ\)} = 360^{\(\circ\)}.
31. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB + 262^{\(\circ\)} = 360^{\(\circ\)}.
32. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB = 360^{\(\circ\)} - 262^{\(\circ\)} = 98^{\(\circ\)}.
33. Рассмотрим треугольник ABO. OA = OB (радиусы), поэтому он равнобедренный.
34. \(\nolimits\) \(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA = \(\angle\) ABO.
35. \(\nolimits\) \(\angle\) AOB + \(\angle\) OAB + \(\angle\) OBA = 180^{\(\circ\)}.
36. \(\nolimits\) 98^{\(\circ\)} + 2 \(\nolimits\) \(\times\) \(\angle\) ABO = 180^{\(\circ\)}.
37. \(\nolimits\) 2 \(\nolimits\) \(\times\) \(\angle\) ABO = 180^{\(\circ\)} - 98^{\(\circ\)} = 82^{\(\circ\)}.
38. \(\nolimits\) \(\angle\) ABO = \(\frac{82^{\circ}}{2}\) = 41^{\(\circ\)}.

Ответ: 41