6*. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные ВМ и СМ (В и С точки касания). Найдите ∠OBC, если ∠BCM = 62°.

Решение:

Так как ВМ и СМ — касательные, проведенные из одной точки М к окружности, то ОМ является биссектрисой угла ∠ВМС и медианой, и высотой к стороне ВС треугольника ВМС. Следовательно, треугольник ВМС — равнобедренный с ВМ = СМ, и ∠МВС = ∠МСВ.

Угол ∠ВСМ = 62°, значит ∠МВС = 62°.

В треугольнике ОВС, ОВ = ОС (радиусы окружности), поэтому он равнобедренный. ∠ОВС = ∠ОСВ.

Угол ∠ВМС = 180° - (∠МВС + ∠МСВ) = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56°.

Так как ОМ — биссектриса ∠ВМС, то ∠ВМО = ∠СМО = 56° / 2 = 28°.

В прямоугольном треугольнике ОМС (угол ОСМ = 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), ∠МОС = 90° - ∠СМО = 90° - 28° = 62°.

В равнобедренном треугольнике ОВС, сумма углов равна 180°. ∠ВОС = ∠ВМО + ∠СМО = 28° + 28° = 56° (внешний угол треугольника ОМС).

∠ОСВ = ∠ВСО = 62° (из условия). Это не совпадает с расчетами.

Давайте пересмотрим. У нас есть касательные ВМ и СМ. ОВ ⊥ ВМ и ОС ⊥ СМ.

В четырехугольнике ОМСВ, сумма углов равна 360°.

∠ВОС + ∠ОВМ + ∠ВМС + ∠ОСМ = 360°.

∠ОВМ = ∠ОСМ = 90°.

∠ВМС = 180° - (∠МВС + ∠МСВ) = 180° - (62° + 62°) = 56°.

∠ВОС = 360° - 90° - 90° - 56° = 134°.

В равнобедренном треугольнике ОВС (ОВ=ОС), углы при основании равны:

∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 134°) / 2 = 46° / 2 = 23°.

Это также не совпадает с условием ∠BCM = 62°.

Перечитаем условие: ∠BCM = 62°.

В треугольнике ВСМ, ВМ = СМ, ∠МВС = ∠МСВ = 62°.

∠ВМС = 180° - (62° + 62°) = 56°.

Угол между касательной СМ и хордой ВС равен половине угловой меры дуги ВС, т.е. ∠BCM = 1/2 дуги ВС.

Центральный угол ∠BOC = дуга ВС. Следовательно, ∠BOC = 2 * ∠BCM = 2 * 62° = 124°.

В равнобедренном треугольнике ОВС (ОВ = ОС), углы при основании равны:

∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 124°) / 2 = 56° / 2 = 28°.

Ответ: 28°.