6. Из деревни в город, расстояние между которыми 120 км, выехал мотоциклист. Через 1,5 ч из города ему на встречу выехала машина и встретила мотоциклиста через 0,5 ч после своего выезда. Найдите скорость мотоциклиста и скорость машины, если скорость машины на 10 км/ч больше скорости мотоцикла.

Решение:

Дано:

• Расстояние между деревней и городом: \( S = 120 \text{ км} \)
• Мотоциклист выехал раньше машины на \( 1.5 \) ч.
• Машина ехала \( 0.5 \) ч до встречи.
• Скорость машины на \( 10 \text{ км/ч} \) больше скорости мотоцикла.

Найти:

• Скорость мотоциклиста \( v_m \)
• Скорость машины \( v_{m_2} \)

Решение:

1. Пусть скорость мотоциклиста \( v_m \) км/ч. Тогда скорость машины \( v_{m_2} = v_m + 10 \) км/ч.
2. Мотоциклист ехал \( 1.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 2 \) ч до встречи.
3. Расстояние, которое проехал мотоциклист: \( S_m = v_m \cdot 2 \) км.
4. Расстояние, которое проехала машина: \( S_{m_2} = v_{m_2} \cdot 0.5 = (v_m + 10) \cdot 0.5 \) км.
5. Сумма расстояний, пройденных мотоциклистом и машиной, равна общему расстоянию: \( S_m + S_{m_2} = 120 \) км.
6. \( 2v_m + 0.5(v_m + 10) = 120 \)
7. Раскроем скобки: \( 2v_m + 0.5v_m + 5 = 120 \)
8. Приведём подобные члены: \( 2.5v_m = 120 - 5 \)
9. \( 2.5v_m = 115 \)
10. \( v_m = \frac{115}{2.5} = \frac{1150}{25} = 46 \text{ км/ч} \)
11. Скорость машины: \( v_{m_2} = 46 + 10 = 56 \text{ км/ч} \)

Ответ: Скорость мотоциклиста \( 46 \text{ км/ч} \), скорость машины \( 56 \text{ км/ч} \).