6) \frac{a^2 - b^2}{4b} : \frac{2b}{a+b}

Решение:

1. Деление дробей: Деление на дробь равносильно умножению на дробь, обратную делителю. То есть, дробь \( \frac{2b}{a+b} \) нужно перевернуть.
2. Преобразование:

\[ \frac{a^2 - b^2}{4b} : \frac{2b}{a+b} = \frac{a^2 - b^2}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} \]

3. Разложение на множители: Числитель первой дроби \( a^2 - b^2 \) является разностью квадратов и раскладывается как \( (a-b)(a+b) \).
4. Подстановка и сокращение:

\[ \frac{(a-b)(a+b)}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} = \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} \]

Внимание: Ошибка в OCR. Предполагалось, что второе выражение в числителе должно быть \(a+b\) для сокращения. Если это так:

\[ \frac{(a-b)\(a+b\)}{4b} \cdot \frac{\(a+b\)}{2b} = \frac{(a-b)\(a+b\)^2}{8b^2} \]

Если же предполагалось сокращение \(a+b\) (как часто бывает в учебниках):

\[ \frac{a^2 - b^2}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} = \frac{(a-b)\(a+b\)}{4b} \cdot \frac{\(a+b\)}{2b} \]

Уточнение: Если в исходном изображении второе выражение было \(a+b\), то после сокращения \(a+b\) получается:

\[ \frac{(a-b)}{4b} \cdot \frac{1}{2b} = \frac{a-b}{8b^2} \]

Примем наиболее вероятный вариант для типовой задачи, где \(a+b\) сокращается.

\[ \frac{a^2 - b^2}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} = \frac{(a-b)(a+b)}{4b} \cdot \frac{a+b}{2b} \]

Предположим, что во второй дроби числитель был \(a+b\).

\[ \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{4b} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{2b} = \frac{a-b}{8b^2} \]

Ответ: \[ \frac{a-b}{8b^2} \]